Chủ Nhật, 16 tháng 2, 2014
BÀI TẬP THƯỜNG KỲ HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP
Câu 3: Thực hiện các phép tính sau:
a) A =
2
3 2
i
i
f) F =
21
321
335
i
i
Giải:
a) A =
2
2
2 (3 2 )
2 6 7 2 4 7
3 2 3 2 3 2 9 4 13
i i
i i i i
i i i i
f) F =
21
321
335
i
i
=
21
2
2
21
2
13
31313
121
313185
121
321335
i
i
ii
i
ii
=
21
31 i
Đặt A = -1 + i
3
F = A
21
Viết A = -1 + i 3 dưới dạng lượng giác:
Modun: r =
2
2
31
=2
Argument:
1
cos
2
2
2
3
3
sin
2
k
Lấy giá trị chính
2
3
Suy ra dạng lượng giác của A là: A = 2
3
2
sin.
3
2
cos
i
F = A
21
= 2
21
.
21.2 21.2
cos .sin
3 3
i
= 2
21
(1 + 0) = 2
21
Vậy F =
21
321
335
i
i
= 2
21
Câu 5a: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: -3z
2
+ 2z – 1 = 0
Giải:
Ta có :
'
= 1
2
– 3 = -2 = 2i
2
Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm:
X
1
=
3
21
3
21
2''
ii
a
b
X
2
=
3
21
3
21
2''
ii
a
b
Câu 5f: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: z
4
+z
2
+1 = 0 (1)
Giải:
Đặt X = z
2
suy ra (1)
X
2
+ 2X +1 =0 (2)
Ta có:
(2)
= 2
2
- 4.1.1 = 0
X
12
= 1
2
a
b
= i
2
z
2
= X
12
= i
2
z =
i
Vậy (1) có nghiệm là z =
i
Câu 7a: Viết theo dạng lượng giác z = 1+i
3
Giải:
Modun: r =
2
2
31
=2
Argument z:
2
3
2
3
sin
2
1
cos
k
r
b
r
a
Lấy giá trị chính
3
Suy ra dạng lượng giác của z là: z = 2
3
sin.
3
cos
i
Câu 7f: Viết theo dạng lượng giác z =
1 3
1
i
i
Giải:
Đặt
1
2
1 3
1
i
i
z
z
z =
1
2
z
z
(1)
* Viết z
1
= 1 + i
3
dưới dạng lượng giác:
Modun: r
1
=
2
2
31
=2
Argument z
1
:
1
1
1
1
1
1
1
1
cos
2
2
3
3
sin
2
k
a
r
b
r
Lấy giá trị chính
1
3
Suy ra dạng lượng giác của z
1
là: z
1
= 2
3
sin.
3
cos
i (2)
* Viết Z
2
= 1 + i dưới dạng lượng giác:
Modun: r
2
=
2 2
1 1
=
2
Argument z
2
:
2
2
2
2
2
2
2
1
cos
2
2
4
1
sin
2
k
a
r
b
r
Lấy giá trị chính
2
4
Suy ra dạng lượng giác của z
2
là: z
2
=
2
cos .sin
4 4
i
(3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta được:
z =
1
2
z
z
=
2( os isin )
3 3
2( os isin )
4 4
c
c
=
2
.[cos(
3
-
4
) +isin(
3
-
4
)]
=
2
(cos
12
+isin
12
)
Vậy z =
2
(cos
12
+isin
12
)
Câu 9: Đặt
1 2
1 3 1 3
z ;
2 2
i i
z
.
Tính
1 2
z = (z ) ( )
n n
z
(n là số nguyên dương)
Giải:
Ta có:
1
1 3
z
2
i
1
( 1 3)
2
n
n
n
i
z
(1)
2
1 3
2
i
z
2
( 1 3)
2
n
n
n
i
z
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
1 2
z = (z ) ( )
n n
z
=
2
)31(
n
n
i
+
2
)31(
n
n
i
=
2
1
n
[
)31( i
n
+
)31( i
n
] =
2
1
n
(A
n
+B
n
) (3)
Với A = -1 + i 3 và B = -1 - i 3
A = -1 + i
3
Modun: r
1
=
2
2
31
=2
Argument:
2
3
2
2
3
sin
2
1
cos
1
1
1
k
Lấy giá trị chính
3
2
1
Suy ra dạng lượng giác của A là: A = 2
3
2
sin.
3
2
cos
i
A
n
= 2
n
.
3
2
sin.
3
2
cos
n
i
n
(*)
B = -1 - i 3
Modun: r
2
=
2
2
31
=2
Argument:
2
3
2
2
3
sin
2
1
cos
2
2
2
k
Lấy giá trị chính
3
2
2
Suy ra dạng lượng giác của B là: B = 2
3
2
sin.
3
2
cos
i
= 2
3
2
sin.
3
2
cos
i
B
n
= 2
n
.
3
2
sin.
3
2
cos
n
i
n
(**)
Thay (*) và (**) vào (3) ta được:
z =
2
1
n
(A
n
+B
n
) =
2
1
n
[2
n
.
3
2
sin.
3
2
cos
n
i
n
+2
n
.
3
2
sin.
3
2
cos
n
i
n
]
=
2
1
n
.2
n
.(
3
2
sin.
3
2
cos
n
i
n
+
3
2
sin.
3
2
cos
n
i
n
)
= 2
3
2
cos
n
Vậy z = 2
3
2
cos
n
Câu 10: Đặt z
1
=
2
31 i
. Tính z = (z
1
)
n
với n là số nguyên dương.
Giải:
Đặt z
1
=
2
31 i
=
2
2
z
(*) với z
2
= 1+i 3
Viết z
2
= 1+i
3
dưới dạng lượng giác:
Môđun: r
2
= 1
2
+ ( 3 )
2
= 4 r = 2
Argument z
2
:
2
3
sin
2
1
cos
=
3
+ k2
Lấy giá trị chính
=
3
Từ đó có dạng lượng giác của z
2
là:
z
2
= 2(cos
3
+isin
3
)
Thay vào (*) ta được:
z
1
=
2
2
z
=
2
)
3
sin
3
2(cos
i
=
3
sin
3
cos
i
Do đó: z= (z
1
)
n
= (
3
sin
3
cos
i
)
n
= cos
3
n
+ isin
3
n
với n là số nguyên
dương.
Vậy: z = cos
3
n
+ isin
3
n
với n là số nguyên dương.
Với n = 0 thì z
0
= 1
Với n = 1 thì z
1
=
2
1
+ i
2
3
Với n = 2 thì z
2
= -
2
1
+ i
2
3
Với n = 3 thì z
3
= -1
Vơí n = 4 thì z
4
= -
2
1
- i
2
3
Với n = 5 thì z
5
=
2
1
- i
2
3
Với n = 6 thì z
6
= 1 chu kì được lặp lại.
Câu 11: Tìm tất cả các số phức u là căn bậc ba của z = 4
2
(1 + i)
Giải:
z = 4 2 (1 + i) = 4 2 . z
1
(*) với z
1
= 1+i
Viết z
1
= 1+I dưới dạng lượng giác:
Mođun: r
2
= 1
2
+ 1
2
= 2 r = 2
Argument z
1
:
2
1
sin
2
1
cos
=
4
+ k2
Lấy giá trị chính
=
4
Từ đó có dạng lượng giác của z
1
là:
z
1
=
2
(cos
4
+isin
4
)
Thay vào (*) ta được:
z = 4 2 . z
1
= 4 2 . 2 (cos
4
+isin
4
) = 8(cos
4
+isin
4
)
Theo công thức căn bậc n của số phức ta có:
3
z
=
3
4
sin
4
(cos8
i
= 2.(cos
3
2
4
k
+ isin
3
2
4
k
) với k = 0, 1, 2
k = 0: u
0
=
3
z
= 2(cos
12
+ isin
12
)
k = 1: u
1
= 2(cos
4
3
+isin
4
3
) = 2( -
2
2
+i
2
2
) = 2 (-1+i)
k = 2: u
2
= 2(cos
12
17
+isin
12
17
)
Câu 15: Tính định thức: A=
0
2
7
0
1
2
3
4
2
7
4
4
0
0
1
0
và B=
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
Giải:
a) A=
0
2
7
0
1
2
3
4
2
7
4
4
0
0
1
0
= -1.
0
2
0
1
2
4
2
7
4
= 2.
1
4
2
4
= 2.(4 – 8) = -8
b) B=
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
414
313
212
.1
.1
.1
ddd
ddd
ddd
2 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
1
4 1d d d
3 1 1 0
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
Suy ra B = (-1)
4+4
.1.
3 1 1
1 1 0
1 0 1
= 5 (Tính theo Sarius)
Vậy B=
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
= 5
Câu 43: Tìm điều kiện của m để
0
với:
m
1
1
m
0
m-1
1
2m
0
0
m
0
0
0
0
1
,
Giải:
Áp dụng phương pháp Laplace cho định thức ta được:
m
1
1
m
0
m-1
1
2m
0
0
m
0
0
0
0
1
= (-1)
3+4+4+3
.
m
o
0
1
.
m
1
0
m-1
= m
2
(m-1)
Để
>0
m
2
(m-1) >0
0
1 0
m
m
m >1
Vậy với m>1 thì 0
với:
m
1
1
m
0
m-1
1
2m
0
0
m
0
0
0
0
1
Câu 44: Tính định thức:
a) A=
x
2
2
2
x
2
2
2
x
1321
cccc
x+4
x+4
x+4
2
x
2
2
2
x
=(x+4).
1
1
1
2
x
2
2
2
x
313
212
ddd
ddd
(x+4).
1
0
0
2
-2+x
2
2
0
-2+x
=(x+4).(x-2)
2
b) B=
1
a
b+c
1
b
c+a
1
c
a+b
313
212
ccc
ccc
1 0 0
a b a c a
b c a b a c
= (b - a)(a – c) – (a – b)(c – a) = (b – a)(a – c + c – a) = 0
Vậy B=
1
a
b+c
1
b
c+a
1
c
a+b
= 0
Câu 54: Không tính định thức, chứng minh rằng:
a)
y+z
y
1
+z
1
y
2
+z
2
z+x
z
1
+x
1
z
2
+x
2
x+y
x
1
+y
1
x
2
+y
2
= 2
x
x
1
x
2
y
y
1
y
2
z
z
1
z
2
Giải:
VT =
y+z
y
1
+z
1
y
2
+z
2
z+x
z
1
+x
1
z
2
+x
2
x+y
x
1
+y
1
x
2
+y
2
=
y
y
1
y
2
z+x
z
1
+x
1
z
2
+x
2
x+y
x
1
+y
1
x
2
+y
2
+
z
z
1
z
2
z+x
z
1
+x
1
z
2
+x
2
x+y
x
1
+y
1
x
2
+y
2
=
y
y
1
y
2
z
z
1
z
2
x+y
x
1
+y
1
x
2
+y
2
+
y
y
1
y
2
x
x
1
x
2
x+y
x
1
+y
1
x
2
+y
2
+
z
z
1
z
2
z
z
1
z
2
x+y
x
1
+y
1
x
2
+y
2
+
z
z
1
z
2
x
x
1
x
2
x+y
x
1
+y
1
x
2
+y
2
=
y
y
1
y
2
z
z
1
z
2
x
x
1
x
2
+
y
y
1
y
2
z
z
1
z
2
y
y
1
y
2
+
y
y
1
y
2
x
x
1
x
2
x
x
1
x
2
+
y
y
1
y
2
x
x
1
x
2
y
y
1
y
2
+
z
z
1
z
2
x
x
1
x
2
x
x
1
x
2
+
z
z
1
z
2
x
x
1
x
2
y
y
1
y
2
=
y
y
1
y
2
z
z
1
z
2
x
x
1
x
2
+
z
z
1
z
2
x
x
1
x
2
y
y
1
y
2
= 2
x
x
1
x
2
y
y
1
y
2
z
z
1
z
2
= VP
Vậy
y+z
y
1
+z
1
y
2
+z
2
z+x
z
1
+x
1
z
2
+x
2
x+y
x
1
+y
1
x
2
+y
2
= 2
x
x
1
x
2
y
y
1
y
2
z
z
1
z
2
(Điều phải chứng minh)
b)
3
3
3
1
1 ( ).( ).( ).( )
1
a a
b b a b b c c a a b c
c c
Ta có VT =
3
3
3
1
1
1
a a
b b
c c
=
3
3 3
3 3
1
0
0
a a
b a b a
c a c a
= (b – a)(c – a)
3
2 2
2 2
1
0 1
0 1
a a
b a ab
c a ca
= (b – a)(c – a)
3
2 2
2 2
1
0 1
0 0
a a
b a ab
c b ca ab
= (b – a)(c – a)(c – b)(a + b + c) =
( ).( ).( ).( )
a b b c c a a b c
= VP
Vậy
3
3
3
1
1 ( ).( ).( ).( )
1
a a
b b a b b c c a a b c
c c
(Điều phải chứng minh)
c)
333
222
111
2
33333
22222
11111
)1(
cba
cba
cba
x
cbxaxba
cbxaxba
cbxaxba
Ta có VT =
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
a b x a x b c
a b x a x b c
a b x a x b c
=
333
222
111
333
222
111
cxaxb
cxaxb
cxaxb
cba
cba
cba
=
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
- x
2
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
=
1 1 1
2
2 2 2
3 3 3
(1 )
a b c
x a b c
a b c
= VP
Vậy
333
222
111
2
33333
22222
11111
)1(
cba
cba
cba
x
cbxaxba
cbxaxba
cbxaxba
(Điều phải chứng minh)
Câu 55: Tính các định thức cấp n:
a) A=
a
x
…
x
x
a
…
x
x…
x…
…
x
x
x
…
a
Ta thấy mỗi cột của định thức đều có một phần tử bằng a và các phần tử còn lại đều
bằng x
Nên ta cộng dòng 2, dòng 3,…dòng n vào dòng 1.
Khi đó: A =
a+(n-1)x
x
…
x
a+(n-1)x
a
…
x…
a+(n+1)x…
x…
…
x
a+(n+1)x
x
…
a
= [a+(n-1)x]
1
x
x
1
a
x
1
x
x
1
x
a
= [a+(n-1)x]
1
0
0
1
0
a x
1
0
0
1
0
a x
= [a+(n-1)x].(a-x)
n-1
Vậy A=
a
x
…
x
x
a
…
x
x…
x…
…
x
x
x
…
a
= [a+(n-1)x].(a-x)
n-1
b) B =
1+a
1
a
1
…
a
1
a
2
1+a
2
…
a
2
…
…
…
…
a
n
a
n
…
1+a
n
Ta thấy mỗi dòng của định thức đều chứa các phần tử 1, a
1
, a
2
, a
3
,…a
n
Nên ta cộng các cột 2, cột 3,…cột n vào cột 1 ta được:
B =
1+a
1
+a
2
+…+a
n
1+a
1
+a
2
+…+a
n
…
1+a
1
+a
2
+…+a
n
a
2
1+a
2
…
a
2
…
…
…
…
a
n
a
n
…
1+a
n
= (1+a
1
+a
2
+…+a
n
)
1
1
…
1
a
2
1+a
2
…
a
2
…
…
…
…
a
n
a
n
…
1+a
n
= (1+a
1
+a
2
+…+a
n
)
1
0
…
0
a
2
1
…
0
…
….
…
…
a
n
0
…
1
= 1+a
1
+a
2
+…+a
n
Vậy B =
1+a
1
a
1
…
a
1
a
2
1+a
2
…
a
2
…
…
…
…
a
n
a
n
…
1+a
n
= 1+a
1
+a
2
+…+a
n
Câu 63: Giải phương trình:
x
1
1
1
x
x
2
1
0
-1
1
1
1
-1
1
1
1
=0
Giải:
Ta dễ thấy định thức ở vế trái có 2 cột tỉ lệ nhau (cột 2 ,cột 3)
Nên theo tính chất thì định thức luôn có giá trị bằng 0.
Vậy phương trình
x
1
1
1
x
x
2
1
0
-1
1
1
1
-1
1
1
1
= 0 có nghiệm với mọi x
Câu 69: Tìm hạng của ma trận sau: A=
1 2 3 4 5
2 4 6 8 11
3 6 9 12 14
4 8 12 16 20
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét