Vy
( )
SH ABCD
. Hay SH l ng cao ca hỡnh chúp S.ABCD.
Xột xem
SAC
cú c im gỡ khụng? Vn dng cỏc i lng ó cho ta cú:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
; SO SD OD a OD OC CB OD a OD
OA AB OB a OD
= = = =
= =
Vy OS = OA = OC nờn O l tõm ng trũn ngoi tip ca
.SAC
Hay
SAC
l
tam giỏc vuụng ti S.
Suy ra:
2 2 2
2 2
1 1 1 ax
SH
SH SA SC
a x
= + =
+
Bin phỏp khc phc sai lm
Nhng sai lm trờn õy l do thiu sút mt s hiu bit cn thit trong v hỡnh, cha
xõu chui, kt hp cỏc yu t gi thit nờn dn n nhng sai lm, nhng ch yu l
vic xỏc nh sai ng cao ca hỡnh chúp. sa cha nhng sai lm ú, chỳng ta
cho HS lm quen mt s hỡnh quen thuc sau õy:
1. Hỡnh chúp u
Gi
l gúc gia cnh bờn hp vi ỏy,
l gúc gia mt
bờn hp vi ỏy
Gi
l gúc gia ng cao ca hỡnh chúp vi mt bờn.
Gi SH l ng cao ca hỡnh chúp.
h
C
B
A
S
S
H
D
C
B
A
Hỡnh chúp tam giỏc u Hỡnh chúp t giỏc u
2. Hỡnh chúp cú mt cnh bờn vuụng gúc vi ỏy
30
- Nu hỡnh chúp cú mt cnh bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ cnh bờn ú l ng cao
ca hỡnh chúp.
- Nu hỡnh chúp cú hai mt bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ cnh bờn l giao tuyn ca hai
mt bờn ú vuụng gúc vi ỏy.
S
D
C
B
A
C
B
A
S
Hỡnh chúp cú
( )
SA ABCD
Hỡnh chúp cú hai mt bờn
( )
SAC
v
( )
SAB
vuụng gúc vi ỏy, SA l ng
cao ca hỡnh chúp
3. Hỡnh chúp cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy
Hỡnh chúp cú mt bờn vuụng gúc vi
ỏy thỡ chõn ng cao ca hỡnh chúp
nm trờn giao tuyn ca mt bờn v
ỏy. Tu theo gi thit m v trớ ca
chõn ng cao nhng v trớ c bit.
H
S
C
B
A
Hỡnh chúp cú
( ) ( )
SAC ABC
Bi tp cng c:
1) Cho hỡnh chúp S.ABCD, ABCD l hỡnh thang cõn, AD l ỏy ln
v
AB = BC = CD = a. Cỏc cnh bờn ca hỡnh chúp u bng nhau v bng b.
Tớnh th tớch v din tich xung quanh ca hỡnh chúp.
31
2) ỏy ca hỡnh chúp S.ABC l tam giỏc cõn, vuụng ti nh C. Hai
mt bờn (SAC) v (SBC) l nhng tam giỏc u cnh a. Mt bờn (SAB) cú
ASB
=
90
0
. Tớnh th tớch v din tớch xung quanh ca hỡnh chúp.
1.2 Sai lm khi v hỡnh biu din ca mt hỡnh trong khụng gian
Hỡnh biu din ca mt hỡnh H trong khụng gian l hỡnh chiu song song ca hỡnh
H lờn mt mt phng. Mun v hỡnh biu din thỡ ta phi ỏp dng tớnh cht ca
phộp chiu song song nh: Hỡnh biu din ca tam giỏc u l mt tam giỏc giỏc bt
k, hỡnh biu din ca hỡnh vuụng l mt hỡnh bỡnh hnh, ng trũn l mt elip.
Song mt s tớnh cht ca hỡnh ú vn c bo ton. V hc sinh ó khụng nm rừ
im ny, nờn dn n v hỡnh biu din ca hỡnh H l khụng ỳng.
Bi tp: Cho mt elip l hỡnh biu din ca mt ng trũn cú tõm O. Hóy v hỡnh
biu din ca:
a. Mt tam giỏc u ni tip trong (O);
b. Hỡnh vuụng ni tip trong (O);
c. Hai ng kớnh vuụng gúc ca ng trũn;
d. Mt dõy cung v ng kớnh vuụng gúc vi dõy cung.
D kin sai lm
HS s v mt tam giỏc, hỡnh bỡnh hnh, hai ng kớnh, dõy cung v ng kớnh bt
k biu din nhng hỡnh yờu cu trờn, m khụng cú mt mi rng buc no biu
th d kin bi toỏn ó cho.
a. Hỡnh biu din ca mt tam giỏc u l mt
tam giỏc bt k, nờn ta cú hỡnh biu din tam
giỏc u
ABC
nh bờn.
j
O
C
B
A
b. Hỡnh biu din ca hỡnh vuụng l hỡnh bỡnh
hnh nờn ta cú hỡnh biu din hỡnh vuụng ABCD
nh bờn.
D
C
B
A
O
32
c. Vỡ qua phộp chiu song song khụng
bo ton gúc nờn ta cú hỡnh biu din hai
ng kớnh AC v BD vuụng gúc nhau
nh bờn.
D
C
B
A
O
d. Lớ lun tng t nh bờn ta cú hỡnh
biu din ca mt ng kớnh vuụng gúc
vi dõy cung.
N
M
B
A
O
Phõn tớch sai lm
- Khi v hỡnh biu din mt hỡnh thỡ ta phi th hin c cỏc tớnh cht m c bo
ton qua phộp chiu song song. V qua hỡnh biu din ú ta cú th nhn ra ú l tam
giỏc u, hỡnh vuụng, hai ng kớnh vuụng gúc
a. Trc ht ta v tam giỏc u ABC ni tip trong ng trũn (O).
Nhn xột: - A, O, H thng hng, BC i qua
trung im ca OD.
-
,OA MN
BC song song vi MN, OA i
qua trung im ca MN.
O
H
D
I
N
M
C
B
A
Ta cú hỡnh biu bin nh sau:
- V cung MN, ly I l trung im ca MN.
- Ni OI ct (O) ti A, D.
- Ly trung im H ca on OD.
T H k BC song song vi MN
O
"
I
"
H
"
D
"
N
"
M
"
C
"
B
"
A
"
Tam giỏc ABC l hỡnh biu din ca tam giỏc u ABC.
b. Cng nh cõu a, khi nhỡn vo hỡnh v biu din trờn thỡ ta khụng bit ú l hỡnh
biu din ca hỡnh bỡnh hnh, hỡnh ch nht hay l hỡnh vuụng. Bi hỡnh khụng th
hin mt tớnh cht c trng no?
33
- Trc ht, ta cú hỡnh vuụng ABCD ni tip trong
ng trũn (O) l:
Ta thy: Tõm ca hỡnh vuụng trung vi tõm ca
ng trũn.
ng chộo ca hỡnh vuụng luụn i qua trung im
ca dõy cung m song song vi ng chộo cũn li.
D
I
N
M
O
C
B
A
Do ú hỡnh biu din ca hỡnh vuụng ABCD ni tip trong ng trũn (O) l:
- V ng kớnh AC biu din ng kớnh AC;
- V dõy MN song song vi AC v gi I l
trung im ca nú;
- Ni OI ct ng (O) ti B, D.
I'
D'
C'
B'
M'
N'
A'
O
Vy ABCD l hỡnh biu din ca hỡnh vuụng ABCD ni tip trong ng trũn
(O).
c. d. tng t nh cỏch xỏc nh cõu b.
Ta cú AC v BD l hai ng kớnh vuụng gúc, BD v MN l ng kớnh
vuụng gúc vi dõy cung.
Bin phỏp khc phc sai lm
v hỡnh biu din chớnh xỏc ta cn thc hin nhng bc sau:
- Nm rừ cỏc tớnh cht ca phộp chiu song song;
- V hỡnh ú trong phng ri xột xem yu t no khụng i khi qua phộp chiu song
song;
- V hỡnh biu din.
Bi tp cng c: V hỡnh biu din ca lc giỏc u, hỡnh ch nht
ni tip trong ng trũn tõm (O).
1.3 Sai lm ca HS khi xỏc nh gúc
Khi gii nhng bi toỏn tớnh toỏn cỏc yu t nh di ng vuụng gúc chung,
gúc Ngay c khi khụng yờu cu dng thỡ trờn thc t ta cng phi xỏc nh cỏc yu
t ú trờn hỡnh v, sau ú mi tớnh toỏn.
34
Song do khụng nm k cỏc khỏi nim m hc sinh thng gp sai lm trong phn
ny, dn n kt qu tớnh toỏn sai.
Bi tp 1: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD, cnh ỏy bng a v cỏc mt bờn ca
hỡnh chúp hp vi ỏy mt gúc
.
Dng thit din to bi mt phng phõn giỏc ca
gúc nh din cnh BC vi cỏc mt bờn ca hỡnh chúp v tớnh din tớch ca thit din.
D kin sai lm
- HS s gp phi sai lm khi xỏc nh mt phng phõn giỏc ca gúc nh din ú l:
xỏc nh phõn giỏc ca hai gúc
SBA
v
,SCD
khi ú mt phng phõn giỏc c
to bi hai ng phõn giỏc ú v cnh nh din.
- Trong mt bờn (SAB), dng ng phõn
giỏc gúc
SBA
l BM.
- Trong mt bờn (SCD), dng ng phõn
giỏc gúc
SCD
l CN.
Ni MN.
N
M
H
D
C
B
A
S
Khi ú t giỏc BCNM l mt phng phõn giỏc nh din cnh BC cn tỡm.
Phõn tớch sai lm
- Nhỡn vo hỡnh v ta khụng th tỡm ra c mt mi liờn h no tớnh toỏn c
din tớch thit din BCNM.
- õy ta cú th chng minh c rng mt phng phõn giỏc ú khụng i qua hai
ng phõn giỏc ca hai gúc
SBA
v
SCD
.
Ta cú li gii nh sau:
dng c mt phng phõn giỏc thỡ trc ht ta phi dng c gúc phng nh
din cnh BC.
T H k IJ song song vi AB. Khi ú:
; SI BC SJ AD
. Do vy
SIJ SJI
= =
. T I k phõn giỏc IK ct
SJ ti K, ta cú:
2
KIJ
=
. T K k MN song
song vi AD.
K
J
I
N
M
H
D
C
B
A
S
35
Ni BM, CN ta cú mt phng phõn giỏc l: BCNM
V thit din l hỡnh thang vỡ MN // BC.
- Ch ra c BM, CN khụng phi l phõn giỏc ca
SBA
v
SCD
.
Tht vy,
Ta cú:
IS KS
IJ KJ
=
(1) (vỡ KI l phõn giỏc ca
SIJ
Vỡ MN song song vi AD nờn:
KS MS
KJ
MA
=
(2)
T (1) v (2) suy ra:
MS IS
IJ
MA
=
(3). Ta thy:
IJ AB
BS IS
=
>
nờn
IS BS
IJ
BA
<
(4).
T (3) v (4) suy ra:
MS BS
MA BA
. Vy BM khụng l phõn giỏc ca
SBA
Tng t ta chng minh c CN khụng phi l phõn giỏc ca
SCD
- Vi cỏch dng ú ta cú:
; ; ;
2cos 2
a
IJ a SIJ SI SJ KIJ
= = = = =
Vỡ MN song song vi AD nờn:
MN SK
AD SJ
=
(5).
Mt khỏc: IK l phõn giỏc nờn:
1
2cos
KS IS
KJ IJ
= =
(6)
T (5) v (6) suy ra:
1 2 os
a
MN
c
=
+
. Ta tớnh c:
. 2 2.cos
1 2.cos
a
KI
+
=
+
Do ú:
( )
( )
3
2
.
2
2 2.cos
. 2 2.cos
1
2 1 2.cos 1 2.cos
1 2.cos
.
a
a
a
S a
BCNM
ữ
+
+
= + =
+ +
+
Bi tp 2: Cho mt hỡnh lng tr ng ABC.ABC ỏy ABC l mt tam giỏc vuụng
A, cú AB = a, gúc B bng
.
Mt phng i qua cnh BC v nh A hp vi ỏy
ABC mt gúc bng
.
Tớnh th tớch hỡnh lng tr.
D kin sai lm
- HS thng xỏc nh sai gúc gia hai mt phng (ABC) v (CAB)
36
Ta cú:
'A BA
l gúc gia hai mt phng
(ABC) v (ABC). Do ú
'A BA
=
.
Khi ú:
.tan ; ' .tanAC a AA a
= =
Vy th tớch hỡnh lng tr l:
3
1 1
. . .tan .tan .tan .tan
2 2
V a a a a
= =
C' B'
A
'
C
B
A
Phõn tớch sai lm
-
'A BA
khụng phi l gúc gia hai mt phng (ABC) v (ABC).
- Do trc giỏc v khụng nm rừ nh
ngha nờn ó xỏc nh gúc gia hai mt
phng (ABC) v (ABC) khụng chớnh
xỏc. Gúc gia hai mt phng l gúc
gia hai ng thng ln lt vuụng
gúc vi hai mt phng ú. Hoc xỏc
nh mt mp vuụng gúc vi giao tuyn
BC ca hai mt phng ú.
(Q)
(R)
(P)
Đường thẳng
, được xác
định bởi hai mp (Q), (R)
qua O và lần lượt vuông
góc với hai đt a, b cắt
nhau trên (P)
F
O
a
b
- xỏc nh gúc ny ta cn tỡm mt mp vuụng gúc vi
( ) ( )
'BC A BC ABC=
.
T A k
AI BC
.
Vy
( )
; 'AI BC AA ABC
suy ra:
'A I BC
(theo nh lớ ba ng vuụng gúc)
Vy
'A IA
=
l gúc phng nh din hp bi
hai mt phng (ABC) v (ABC).
I
C'
B'
A
'
C
B
A
Ta cú:
.tan ; .tanAC a AI a
= =
;
' .AA AI=
tan
=
.sina
.
tan
.
Vy
3
1
.
2
V a=
.
sin
.
tan
.
tan
.
Bin phỏp khc phc sai lm
37
Khi cn tớnh gúc nh din (hay gúc gia hai mt phng) nu gúc cha cú sn thỡ ta
phi dng gúc, sau ú ỏp dng h thc lng trong tam giỏc tớnh toỏn.
Sau õy l phng phỏp dng gúc gia hai mt phng (gúc
phng nh din).
- Tỡm c giao tuyn ca hai mp
( )
v
( )
.
- Tỡm mt phng
( )
vuụng gúc vi c. Tỡm
cỏc giao tuyn ca
( )
vi
( )
v
( )
.
Khi ú
( ) ( )
( )
ã
;
=
( )
ã
,a b
vi
( ) ( ) ( )
( )
;a b
= =
c
H
B
A
- Tỡm mp
( )
: + Tỡm ng thng vuụng gúc vi c, ct
( )
v
( )
ti A v B.
+ T A (hay B) dng ng vuụng gúc vi c. Khi ú
AHB
l gúc
gia hai mt phng cn tỡm. Ta cú:
( )
( )
AHB
.
Chỳ ý
a) Nu hai mt ca nh din ln lt cha
hai tam giỏc cõn
MAB v
NAB cú
chung ỏy l AB thỡ
ã
MIN
(I l trung
im ca AB) l gúc gia hai mt phng
ú.
I
M
N
B
A
Dng mt phng phõn giỏc ca nh din
- Cn tỡm 1 gúc phng nh din ca nh
din ú.
- Xỏc nh phõn giỏc ca gúc phng nh
din.
- Khi ú mt phng phõn giỏc l mt
phng i qua cnh ca nh din v phõn
giỏc ú.
D
C
O
I
B
A
(OCD) l mt phng phõn giỏc ca nh
din( A, CD, B)
38
Bi tp 3: Cho lng tr tam giỏc u ABC.ABC cú cnh ỏy bng a. ng chộo
BC ca mt bờn BCCB hp vi mt bờn BAAB mt gúc
. Tớnh th tớch hỡnh
lng tr.
D kin sai lm
HS s xỏc nh sai gúc gia BC v mp (AABB).
Ni BA gúc gia BC v mt bờn BBCC l
ã
' 'C BA
. Vy
ã
' 'C BA
=
Trong
' 'C BA
, theo nh lớ sin ta cú:
' .sin '
'
sin ' sin sin
BC a a A
BC
A
= =
Mt khỏc: BA = BC nờn
' 'C BA
l tam giỏc
cõn ti B.
a
C'
B'
A
'
C
B
A
180 -
sin cos
sin '
2 2
'
sin sin sin
2.sin
2
o
a a
a A a
BC
= = = =
Vy:
2 2
2 2 2 2 2
2 2
' ' 1 4sin ' 1 4sin
2 2
4sin 4sin 2sin
2 2 2
a a a
CC BC BC a CC
ữ
= = = =
Vy th tớch hỡnh lng tr l:
3
2 2
1 3 3
. . 1 4sin 1 4sin
2 2 2 2
2sin 8sin
2 2
a a
V Bh a a
= = =
Phõn tớch sai lm
Sai lm ca li gii trờn chớnh l vic xỏc nh sai gúc gia ng thng BC vi
mp (BAAB), do trc giỏc nhm v khụng nm rừ nh ngha.
Gúc gia ng thng v mt phng l gúc gia ng thng ú vi hỡnh chiu ca
ng thng ú trờn mt phng.
Theo nh ngha ta phi tỡm gúc gia BC v hỡnh chiu ca nú trờn (BAAB).
Trc tiờn phi xỏc nh c hỡnh chiu ca BC.
39
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét