Định Lý Côsin

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Định Lý Côsin": http://123doc.vn/document/564391-dinh-ly-cosin.htm

Bài toán: Cho tam giác ABC như hình vẽ:
1. AC AB = ?
Đáp án:
1. AC AB = BC
60595857565554535251504948474645444342414039383736353433323130292827262524232221201918171615141312111009080706050403020100
A
B C
Em hy cho biết:
2. BC
2
=(AC AB)
2
= AC
2
+ AB
2
2 AC. AB
2. BC
2
= ?

A
B
Người ta
muốn đo
khoảng cách
giữa 2 điểm
A và B như
hình vẽ.
nhưng không
thể đến trực
tiếp được do
vướng hồ
nước

A
B
Người ta
muốn đo
khoảng cách
giữa 2 điểm
A và B như
hình vẽ.
nhưng không
thể đến trực
tiếp được vì
ở hai đỉnh núi

1. Bài toán: Hai tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí
theo 2 hướng như hình vẽ.
Hỏi sau một giờ hai tàu cách nhau bao xa?
6
0
0
4
0

K
m
/
h
3
0

K
m
/
h
Định lý côsin

Định lý côsin
2 2 2
2
( - ) - 2 .BC AC AB AC AB AC AB= = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

2 2 2
a = b +c - 2.b.c.CosA
Khái quát bài toán trên:
Ta xét tam giác ABC có: BC=a; AB=c;
AC=b
Khi đó ta có:
2. Định lý Côsin: Trong tam giác ABC bất kỳ với BC=a; AB=c;
AC=b ta có:
b
2
= a
2
+c
2
2.a.c.CosB
c
2
= a
2
+b
2
2.a.b.CosC
a
2
= b
2
+c
2
2.b.c.CosA
A
B
C
a
c
b

Định lý côsin
Ví dụ 1: Hy vận dụng định lý Côsin
vừa tìm được để tìm lời giải bài toán đo
khoảng cách giữa 2 điểm B và C
không đến trực tiếp được như hình vẽ:
Giải: Trong tam giác ABC áp dụng định lý Côsin ta có:

AC
2
+AB
2
2.AB.AC.CosA
1
5
2
5
3
0
0
Thay số: BC
2
= 25
2
+ 15
2
2.25.15.Cos 30
0
=> BC =
525
BC
2
=
B
C
A
Ví dụ vận dụng

Định lý côsin
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có
a=2bCosC. Hy chứng minh tam giác
ABC là tam giác cân.
Giải: Theo định lý Côsin ta có:

c
2
= a
2
+b
2
2.a.b.CosC
Theo giả thiết: => CosC =
a
2b
=> c
2
= a
2
- b
2
2.a.b.
a
2b
c
2
= b
2
Vậy tam giác ABC cân với b=c
Ví dụ vận dụng

Định lý côsin
Bài toán: Giả sử tam giác ABC vuông tại A
và có các cạnh tương ứng là a, b và c. Hy
viết biểu thức liên hệ giữa các cạnh theo
định lí Côsin.
Giải: Theo định lý Côsin ta có:

a
2
= b
2
+c
2
2.b.c.CosA
Các hệ quả
A B
C
a
b
c

=> a
2
= b
2
+c
2
2.b.c.Cos90
0

=> a
2
= b
2
+c
2
Đây chính là định lý Pi-ta-go
Vậy định lý Pi-ta-go là trường hợp đặc biệt của định lý Côsin

Định lý côsin
Từ định lý Côsin ta suy ra các hệ quả:
Các hệ quả
2 2 2
2
b c a
CosA
bc
+
=
2 2 2
2
a c b
CosB
ac
+
=
2 2 2
2
a b c
CosC
ab
+
=
Nhận xét:
- Khi A là góc nhọn =>
CosA
> 0
=> b
2
+c
2
> a
2
- Khi A là góc vuông => CosA
= 0
=> b
2
+c
2

= a
2
- Khi A là góc tù =>
CosA
< 0
=> b
2
+c
2
< a
2

Định lý côsin
Ví dụ: Cho tam giác ABC, chứng minh
rằng:
áp dụng các hệ quả để giải các bài toán
Giải:
Theo hệ quả ta có:
2 2 2
2
CosA CosB CosC a b c
a b c abc
+ +
+ + =
2 2 2
2
CosA b c a
a abc
+
=
2 2 2
2
CosB a c b
b abc
+
=
2 2 2
2
CosC a b c
c abc
+
=
2 2 2
2
CosA CosB CosC a b c
a b c abc
+ +
+ + =
Cộng vế với vế của các
đẳng thức này với nhau ta
có điều cần chứng minh

3. áp dụng
2
2
2 2 2
2 . . . .
2 2 4
a
a a a
m c c CosB c a c CosB

= + = +
ữ

2 2 2
2
a c b
CosB
ac
+
=
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2( )
. .
4 2 4
a
a a c b b c a
m c a c
ac
+ +
= + =
Cho tam giác ABC, có cạnh BC=a, AC=b, AB =c. Gọi m
a
, m
b
m
c
là
độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ A, B, C của tam giác
đó. Hy minh rằng:
Giải:
Gọi M là trung điểm của cạnh BC, áp dụng định lý
Côsin vào tam giác AMB ta có:
C
A
B
c
b
M
m
a
a
2
a
2
nên =>
Chứng minh tương tự ta có:
2 2 2
2
2( )
4
b
a c b
m
+
=
2 2 2
2
2( )
4
c
a b c
m
+
=
2 2 2
2
2( )
4
a
b c a
m
+
=
2 2 2
2
2( )
4
b
a c b
m
+
=
2 2 2
2
2( )
4
c
a b c
m
+
=
;
và
Vì:
Điều phải
chứng
minh
Đây chính là công thức tính độ dài các đường
trung tuyến trong tam giác
2 2 2
2
2( )
4
a
b c a
m
+
=
2 2 2
2
2( )
4
b
a c b
m
+
=
2 2 2
2
2( )
4
c
a b c
m
+
=
;
và
Ví dụ: Cho tam giác ABC có a=7cm, b=8cm và c=6cm. Hy tính
độ dài đường trung tuyến m
a
của tam giácđ cho.
Giải:
2 2 2
2
2( ) 2(49 64) 36 95
4 4 2
a
b c a
m
+ +
= = =