dời của lực, Vào thời điểm này, các nhà toán học cũng có sự quan tâm đến các đồ thò của
hàm số để từ đó có thêm công cụ mà giải quyết các bài toán về phương trình bậc cao
(Decarters đã từng dựng nghiệm của phương trình bậc 3 và bậc 4 bằng cách cho giao nhau
giữa hai đường cong). Tuy nhiên đến lúc này do giải tích chưa phát triển mạnh nên việc
khảo sát hàm số cũng như nghiên cứu đồ thò của chúng là còn nhiều hạn chế. Giải tích
toán học, như một nhất thể có hệ thống chỉ được hình thành nhờ các công trình của Newton,
Leibniz, Euler, Lagrange, và các nhà bác học khác của thế kỉ 17-18, và nền tảng của nó
chính là lí thuyết giới hạn-được Cauchy hoàn thiện vào đầu thế kỉ 19.
Trong giải tích toán học cổ điển, đốùi tượng nghiên cứu (khảo sát) chủ yếu là các hàm số. Sự
phát triển của giải tích toán học đưa tới khả năng nghiên cứu những đối tượng còn phức
tạp hơn hàm số (phiến hàm, toán tử). Nhờ giải tích toán học-ngành toán nghiên cứu các
hàm số mà các ngành kỉ thuật và tự nhiên đã sử dụng nó như một công cụ đắc lực để giải
quyết nhiều vấn đề. Từ đó tạo nên sự phát triển cho ngành giải tích. Ngành giải tích toán
học hiện nay là một mảng rất lớn của toán học, nó bao gồm các bộ môn toán khác nhau
như : phép tính vi phân, phép tính tích phân.
Phép tính vi phân nghiên cứu đạo hàm và vi phân của hàm số để ứng dụng nghiên cứu
hàm số. Việc hình thành nó gắn liền với tên tuổi của 2 nhà toán học Newton và Leibniz.
Nhờ các phương pháp của phép tính vi phân, các mệnh đề ấy cho phép nghiên cứu chi tiết
dáng điệu của hàm có đủ tính trơn (tức đạo hàm bậc đủ cao). Như vậy có thể xác đònh độ
trơn, tăng giảm của hàm, các cực đại và cực tiểu (cực trò), độ lồi và lõm Nghiên cứu hàm
số bằng cách sử dụng đạo hàm là ứng dụng cơ bản của phép tính vi phân. Phép tính vi phân
đặc biệt thuận tiện trong việc khảo sát các hàm sơ cấp, bởi vì đạo hàm của chúng cũng là
những hàm sơ cấp.
Trong công trình của Fermat "Khái luận về nghiên cứu các vò trí phẳng và đặc" (1636) có
nói : về mối quan hệ hàm số với đồ thò biểu diễn nó ("vò trí" của Fermat có nghóa là đường).
1637, các nhà toán học nghiên cứu các đường, dựa vào phương trình của chúng trong hình
học của Descartes. Nhà bác học Anh Barrow ("Bài giảng về hình học", 1670), dưới dạng
hình học, đã xác lập tính ngược đảo qua lại giữa phép tính vi phân và tích phân (dó nhiên,
không sử dụng các thuật ngữ như vậy). Điều trên chứng minh rằng họ nắm khái niệm hàm
số rất rõ ràng. Về khái niệm này, chúng ta còn tìm thấy ở Newton, dưới dạng hình học và cơ
học. Nhưng thuật ngữ "hàm số" chỉ xuất hiện lần đầu tiên với Leibniz, năm 1692, song cũng
không hoàn toàn như chúng ta hiểu ngày nay về khái niệm ấy. Leibniz gọi hàm số là những
đoạn khác nhau, có liên hệ với một đường cong nào đó (chẳng hạn như hoành độ các điểm
của nó). Trong giáo trình in đầu tiên "Giải tích vô cùng bé" của nhà toán học Pháp
L'Hospital (1696) cũng không thấy sử dụng thuật ngữ "hàm số".
Đònh nghóa đầu tiên của hàm số, gắn với quan điểm hiện đại, là của Johnann Bernouilli
(1781) : "Hàm số là đại lượng gồm có biến số và hằng số". Trong chiều sâu của đònh nghóa
chưa thật hoàn chỉnh ấy là ý tưởng biểu diễn hàm số bằng công thức giải tích. Trong cuốn
"Nhập môn giải tích vô cùng" (1784), Euler, khi phát biểu đònh nghóa ấy, cũng nói lên ý
5
tưởng như vậy : "Hàm số của một đại lượng biến thiên là biểu thức giải tích bao gồm lượng
biến thiến ấy và các số hoặc các đại lượng không đổi". Kí hiệu hiện đại cho hàm số là f(x)
cũng được Euler đề xuất năm 1734.
Nửa đầu thế kỉ 19, do sự phát triển của khoa học đòi hỏi phải mở rộng khái niệm hàm, dấu
hiệu đặc trưng của hàm số là sự tương ứng giữa các giá trò của 2 đại lượng.
Từ đầu thế kỉ 19, người ta thường đònh nghóa hàm số mà không nhắc gì đến cách biểu diễn
giải tích của nó. Trong cuốn "Lí thuyết giải tích về nhiệt" của nhà bác học Pháp Fourrier
(1822) có câu : "Hàm f(x) biểu diễn một hàm hoàn toàn tuỳ ý, tức là một dãy giá trò đã cho,
(tuân theo hay không tuân theo đònh luật chung) tương ứng với mọi trò x, ở giữa 0 và đại
lượng nào đó của x". 1834, Lobasepxki đưa ra khái niệm hàm số như sau: "Hàm số của biến
số x là số được cho với mỗi giá trò x và biến thiên cùng với x. Giá trò của hàm số có thể được
cho bằng một biểu thức giải tích hoặc bằng đồ thò cho phép thử tất cả các giá trò". Đến
1837, Dirichlet đưa ra khái niệm: "y là hàm số của x nếu với mỗi giá trò của x thì tương ứng
với một giá trò hoàn toàn xác đònh của f, còn sự tương ứng đó xác đònh bằng cách nào thì
không quan trọng".
• Nhận xét :
Ta thấy khái niệm hàm số trãi qua một thời kì biến đổi khá dài và việc nghiên cứu
(khảo sát hàm số) chỉ mới được nghiên cứu một cách chính quy và bài bản trong
vài thế kỉ này.
Trong lòch sử thì sự nghiên cứu và phát triển khái niệm hàm số và việc khảo sát,
vẽ đồ thò của nó đều là do nhu cầu thực tế trong toán học. Nhưng khi kiến thức đó
phát triển đến một mức nhất đònh thì nó sẽ trở thành một công cụ đắc lực để sử
dụng vào đời sống thực tế (xin coi thêm phần ứng dụng).
Khi đạo hàm ra đời thì nó là một công cụ đắc lực (hiện đại) cho việc khảo sát
hàm số, nhờ công cụ đạo hàm mà chúng ta có nhiều thông tin hơn về một hàm số
hoặc đồ thò của chúng so với lúc chưa có công cụ đạo hàm thì chỉ hoàn toàn
nghiên cứu một cách sơ cấp. Đó cũng chính là sự khác biệt giữa việc nghiên cứu
6
Đến thế kỉ 20, các nhà toán học nghiên cứu tính
chất của tập hợp những điểm thoả phương trình có
dạng
2 3 2
y ax bx cx= + +
, trong đó
, ,a b c
là số
nguyên hay số hữu tỉ (nghiên cứu đồ thò của phương
trình trên) để từ đó giải quyết các bài toán nảy sinh
từ phương trình có dạng Diophante. Phương trình
trên còn được gọi là phương trình elliptic. Điều này
cho thấy việc nghiên cứu đồ thò đã mở rộng ra
không chỉ là đồ thò của hàm số (phương trình ở
trên không thể biểu diễn 1 hàm số).
Minh hoạ đồ thò của phương
trình elliptic
hàm số và đồ thò ở cấp 2 với việc nghiên cứu hàm số và đồ thò ở cấp 3. Điều này sẽ
được phân tích kỉ hơn trong phần dưới.
III/ Nội dung khảo sát và vẽ đồ thò hàm số trong chương trình phổ thông :
1) Mục đích đưa vào :
• Trong khoa học toán có 4 nhóm ngôn ngữ chính : nhóm ngôn ngữ dùng kí hiệu, nhóm
ngôn ngữ dùng lời, nhóm ngôn ngữ đồ thò. Nội dung khảo sát hàm số gắn chặt với việc
sử dụng ngôn ngữ đồ thò của toán học. Do đó việc đưa khảo sát hàm số vào không ngoài
mục đích giúp cho học sinh có thể hiểu sâu sắc hơn về ngôn ngữ đồ thò của toán và cũng
có năng lực làm việc trên đồ thò, một kó năng quan trọng trong đời sống.
• Việc nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu của chương trình bậc phổ thông
trung học, nhiều phần kiến thức trong toán liên quan chặt chẽ quan đến hàm số (phương
trình, cấp số, giới hạn, hàm số lượng giác …). Do đó việc đưa phần khảo sát hàm số vào
chương trình toán đã góp phần hoàn thành nhiệm vụ này.
• Khảo sát hàm số chính là sự tổng hợp của nhiều phần kiến thức đã học ở lớp 10, 11 và
12. Nên việc đưa nó vào như là sự củng cố và phát triển hơn các kiến thức đó.
• Là công cụ đắc lực để giải quyết một số vấn đề khác của toán học mà nếu không sử
dụng kiến thức này thì việc giải quyết sẽ vô cùng khó khăn và phức tạp (vấn đề về
phương trình, bất đẳng thức…)
2) Tìm hiểu sơ nét về thuật ngữ có liên quan :
Dưới đây ta sẽ tìm hiểu sơ nét về các khái niệm sau : hàm so á
1
, đồ thò của hàm số và sự
biến thiên.
Các khái niệm dưới đây được trích dẫn theo thứ tự trong tài liệu sau :
Từ điển toán học (Hoàng Hữu Như, Lê Đình Thònh, Hoàng Tụy), nxb. khoa học kỉ thuật
Từ điển toán học thông dụng (Ngô Thúc Lanh, Đoàn Quỳnh, Nguyễn Đình Trí), nxb. giáo
dục
Sách giáo khoa lớp 10 ( Trần Văn Hạo-Cam Duy Lễ), nxb. giáo dục, 2000
1
Theo nhà toán học Nga nổi tiếng Khinchin thì không có khái niệm nào có thể phản ánh được những hiện tượng của thực tế
khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như tương quan hàm
7
Hà
m
số
Hàm : phần tử của một tập hợp E
y
(bản chất bất kì) được gọi là hàm của
mỗi phần tử x, xác đònh trên một tập hợp E
x
, nếu mỗi phần tử x của tập E
x
được đặt tương ứng với một phần tử duy nhất của tập E
y
. Nếu E
x
và E
y
là
những tập hợp số thực nào đó, thì ta có hàm số biến số thực hay gọi đơn
giản là hàm số.
Hàm : là khái niệm cơ bản của toán. Cho một hàm là cho :
1) Một tập hợp A là gọi tập nguồn
2) Một tập hợp B, không nhất thiết là A, gọi là tập đích
3) Một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử của A thì cho nhiều nhất
một phần tử của B (hoặc không có phần tử nào của B, hoặc có duy nhất
một phần tử của B)
Nếu tập đích của một hàm là
¡
thì hàm đó được gọi là hàm số
Cho D là tập con khác rỗng của
¡
. Một hàm số xác đònh trên D là một
quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x
∈
D có một và chỉ một số thực y.
Khi đó ta kí hiệu f(x) là giá trò của hàm số tại x.
Đồ
thò
của
hà
m
số
Đồ thò của hàm số : y=f(x) (của biến số thực x) là quỹ tích các điểm của
mặt phẳng mà các toạ độ Descartes vuông góc của chúng thoả mãn đẳng
thức y=f(x)
Đồ thò của hàm số một biến số :
:f X ⊂ →¡ ¡
là tập hợp (quỹ tích) các
điểm M(x,y) của mặt phẳng có các toạ độ (x,y) trong hệ toạ độ Oxy thoả
mãn hệ thức y=f(x), x
X∈
Đồ thò của hàm số là tập hợp tất cả những điểm M(x,y) trong mặt phẳng
toạ độ Oxy với x∈D và y=f(x)
Sự
biế
n
thi
ên
Sự biến thiên của hàm số : sự đơn điệu của hàm số
Sự biến thiên của hàm số : sự thay đổi giá trò của hàm số
Sự biến thiên của hàm số : sự đồng biến (tăng) hoặc nghòch biến (giảm)
của hàm số
Một số phân tích về các thuật ngữ trên :
• Ba đònh nghóa trên về hàm đều xem hàm như một quy tắc hay sự tương ứng, đó là một
trong những kiểu đònh nghóa thông dụng và thường dùng trong những sách giáo khoa phổ
8
thông của ta. Để thấy được sự tương tự, ở đây sẽ giới thiệu một số các đònh nghóa về hàm
khác trong các sách giáo khoa phổ thông ở Việt Nam:
Đại số lớp 10. Sách bổ túc văn hoá 1975: "Đại lượng y được gọi là hàm số của đại
lượng x nếu với mỗi giá trò của x trong khoảng biến thiên của nó thì tương ứng với
một giá trò xác đònh của đại lượng y, x được gọi là đối số".
Đại số lớp 7. Hoàng Xuân Sính 1987: "Giả sử X, Y là 2 tập hợp số. Một hàm sốù f
từ X đến Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trò x thuộc X một và chỉ một giá
trò y thuộc Y mà ta ký hiệu là f(x)".
• Có một số sách nước ngoài thì chỉ đưa ra khái niệm hàm (tổng quát) mà không đưa ra
khái niệm hàm số một cách tường minh. Chẳng hạn như:
Theo Helena Rasiowa: Cơ sở của toán học hiện đại, Hà Nội 1987
Đònh nghóa hàm ánh xạ thông qua tập tích Đềcác và quan hệ hai ngôi: "Nếu một
quan hệ hai ngôi F
⊂
XxY thoả mãn điều kiện sau đây: với mọi x thuộc X có đúng
một y thuộc Y sao cho xFy thì F gọi là một hàm ánh xạ X vào Y".
Đònh nghóa hàm số theo sách Mathematic Methods, Patric Tobin, "ấn bản của Đại
học OXFORD"
1
.
(Để đảm bảo tính chính xác, ở đây xin giới thiệu nguyên văn tiếng Anh)
"A function f from a set A to a set B is a rule that assigns to each element x in
the set A exactly one element y in the set B. The set A is called the domain of f,
and the set B is called the co-domain, which contains the range of f "
Ở đònh nghóa trên không đề cập đến tập số. Sau đó tác giả đưa ra bài tập liên
quan đến những hàm mà A, B là những tập số mà không đưa thêm đònh nghóa
gì mới. Và thuật ngữ "function" được dùng luôn cho cả hàm số.
• Phân tích riêng về các đònh nghóa trong sách giáo khoa phổ thông hiện hành (đònh
nghóa thứ 3 trên bảng)
Các khái niệm trên giữa sách giáo khoa và từ điển toán học được khá ổn đònh
không có sự khác biệt lớn qua đó ta thấy trong sách giáo khoa hiện hành thì các
khái niệm trên có tính chính xác cao nhưng vẫn mang được tính sư phạm (ngắn
gọn, dễ hiểu, phù hợp với sự tiếp thu của học sinh và vì học sinh đã được đã có vài
nét các khái niệm này khi học ởcấp 2). Theo thầy Nguyễn Văn Vónh (khoa Toán-
Đại học sư phạm TP.HCM) thì "điều này hoàn toàn tự nhiên vì bất cứ giáo trình
toán phổ thông nào, trong khi đáp ứng đòi hỏi về tính khoa học thì cũng không thể
được xây dựng nếu thiếu sự tính toán tới đặc điểm tâm lí, khả năng của người
học".
1
Tạm dòch từ cụm từ "OXFORD UNIVERSITY PRESS"
9
Đònh nghóa về hàm số và đồ thò của hàm số gắn liền với lý thuyết tập hợp mà học
sinh đã được học bắt đầu ở lớp 6 và nhắc lạò, mở rộng ở lớp 10. Khái niệm hàm ở
trên được đònh nghóa thông qua khái niệm loại và nêu rõ thuộc tính đặc trưng của
chủng, có khái niệm dẫn xuất là "quy tắc" được xem như là khái niệm ban đầu
không được đònh nghóa.
Trong sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 này thì đònh nghóa đã được sửa chữa lại nên
trong đònh nghóa có sự phân biệt giữa 2 kí hiệu đó là kí hiệu hàm số "f" và kí hiệu
về giá trò của hàm số f(x). Trước khi chỉnh lí, khái niệm được viết trong SGK
1
như
sau: "Cho D là một tập con của tập hợp R các số thực, ta gọi hàm số f(x) vớ miền
xác đònh D (còn gọi la tập xác đònh) là một quy tắc cho tương ứng mỗi số thực x
thuộc D với một số thực duy nhất f(x) thuộc R, x gọi là biến số f(x) gọi là giá trò
của hàm số tại x. Ta thường viết y=f(x) và thay vì gọi hàm số f(x), ta còn gọi là
hàm số y=f(x)". Khi đó, theo thầy Nguyễn Văn Vónh (khoa Toán-Đại học sư phạm
TP.HCM) thì "điều này dễ gây mơ hồ và khó khăn cho người dạy và cả người học
khi triển khai nghiên cứu khái niệm. Chẳng hạn, cùng với một hàm số với biểu
thức giải tích y=f(x), khi thay x bằng các giá trò cụ thể x
1
, x
2
thì phải chăng ở đây
có 2 hàm số f(x
1
), f(x
2
) hay đang nói đến các giá trò x
1
, x
2
?"
2
• Phân tích sự khác biệt trong nhận thức của học sinh khi học hàm số và đồ thò ở cấp 2
và cấp 3
Về Tập xác đònh:
(Ở dưới phân tích dựa vào SGK Đại số 9, Ngô Hữu Dũng, Trần Kiều, 2002-tái
bản lần thứ 12, nxb. giáo dục)
Cấp 2 : Ở lớp 9, sách giáo khoa nhắc lại khái niệm hàm số ở lớp 7 đã học. Qua
đó học sinh có thể dễ hơn trong việc tiếp cận kiến thức mới về đồ thò và hàm
số. Học sinh được học các khái niệm có liên quan đến việc khảo sát hàm số
như "Tập xác đònh của hàm số", sự đồng biến nghòch biến. Lúc này, khái niệm
"Tập xác đònh của hàm số" chỉ được tác giả giới thiệu khá hạn hẹp qua 3 ví dụ
2
3=y x
,
2 1
, 5
3
−
= = −
−
x
y y x
x
, chưa có phong phú về loại tìm tập xác đònh và
cả bài tập trong sách thì chỉ dừng lại việc xét tới những hàm số đơn giản.
Trích bài tập trong SGK ĐS 9:
"Tìm TXĐ của hàm số sau:
2
2
2 3 2 3 1
1
1
y x y x x
x
y y x
x
= − + = − +
= = −
−
1
Sách giáo khoa
2
Trích trong Tư liệu bàn Về tuyến hàm trong chương trình cải cách giáo dục môn Toán 1992
10
Điều này là do học sinh mới học đến những biểu thức có dạng biểu thức hữu tỉ
(phân thức)-được học ở lớp 8 hay là biểu thức vô tỉ mà học sinh chỉ mới làm
quen ở đầu năm lớp 9 (chương trình cũ, còn chương trình mới học sinh được học
căn bậc hai ở lớp 7). Một lí do khác là học sinh chưa học sâu về lí thuyết tập
hợp, mặt dù có học ở lớp 6 nhưng ngay cả những phép giao, hợp của tập hợp thì
SGK cũng chưa giới thiệu cho học sinh (theo SGK lớp 6, Lê Hải Châu, nxb. giáo
dục, 1999 (tái bản lần thứ 12)).
Sau khi giới thiệu trực tiếp việc tìm TXĐ
1
của 3 hàm số tác giả đi vào ngay trả
lời câu hỏi "Thế nào là tìm TXĐ của một hàm số" mà cũng không đưa ra đònh
nghóa TXĐ của hàm số. Tác giả viết: "tìm TXĐ của hàm số y=f(x) là tìm tất cả
những giá trò của x sao cho biểu thức f(x) có nghóa".
Cấp 3 : Học sinh có cái nhìn hoàn chỉnh hơn về TXĐ không chỉ tìm TXĐ của
những hàm số đơn giản giới hạn bởi 3 loại trên mà còn có những kiểu kết hợp
giữa 2 loại và tìm TXĐ cả những hàm số siêu việt. Chẳng hạn bài tập tìm TXĐ
của hàm số mà học sinh đã gặp ở cấp 3 như sau:
"Tìm TXĐ của hàm số
2
( 2) 1
y
x x
=
+ +
,
2
log ( 1)
2
x
y
x
+
=
−
,
tg cotgy x x= −
"
Điều này là do đến cấp 3 học sinh được học lí thuyết tập hợp (phép giao, hợp,
hiệu) một cách sâu sắc hơn. Thật vậy ta thấy ở 3 ví dụ về TXĐ bên trên thì
đều phải sử dụng khái niệm giao của 2 tập hợp, chẳng hạn như ở ví dụ đầu tiên
giao của 2 tập hợp
{ }
/ 2A x R x= ∈ ≠ −
và
{ }
/ 1B x R x= ∈ > −
. Và một lí do khác
là lên cấp 3 học sinh mới học những hàm số siêu việt.
Về các yếu tố khác:
Học sinh mới vẽ và khảo sát những đồ thò đơn giản (hàm số bậc nhất
y ax b= +
và bậc hai
2
y ax=
. Ta xét cách vẽ đồ thò của hàm số
2
1
2
y x= −
, đây là một ví dụ
trong SGK Đại số lớp 9
1. Nhận xét. Trước hết ta nêu một số nhận xét sau:
a) Biểu thức f(x)=
2
1
2
x−
luôn có nghóa với mọi
x R∈
. Vậy hàm số có tập xác
đònh là R.
b) f(x)=
2
1
2
x−
0≤
với mọi
x R∈
: hàm số luôn nhận giá trò âm với mọi
x R∈
,
trừ khi x=0 thì y=0 là giá trò lớn nhất của hàm số.
1
Tập xác đònh
11
Suy ra : Các điểm (x;y) của đồ thò hàm số luôn nằm phía dứơi trục hoành và
nhận điểm O(0,0) là điểm "cao nhất" của đồ thò.
c)Với mọi x
1
, x
2
mà 0<x
1
<x
2
thì
2
1
1
2
x−
>
2
2
1
2
x−
: hàm số là nghòch biến trong R
+
Tương tự thì với x
1
<x
2
<0 thì hàm số là đồng biến trong R
-
Lập bảng một số giá trò tương ứng của x và y:
x -
3
-2 -1 0 1 2 3
y -
4
,
5
-2 -0,5 0 -0,5 -2 -4,5
Ta thấy: mỗi cặp giá trò đối nhau của x ứng với cùng một giá trò y. Chẳng hạn x=
±
1, y=-0.5; x=
±
2, y=-2;…Trên mặt phẳng toạ độ, các cặp điểm: (-1;-0,5) và
(1;-0,5); (-2;-2) và (2;-2) đối xứng qua trục tung: đồ thò nhận trục tung là trục đối
xứng.
Như vậy ta thấy rằng việc khảo sát hàm số và vẽ đồ thò ở lớp dưới chỉ dừng lại
ở việc xét đồ thò bậc 2 đơn giản có trục là Oy và có đỉnh là gốc toạ độ O. Còn
lên lớp 10 thì học sinh đã được học việc khảo sát đồ thò trong phạm vi rộng
hơn, đỉnh của Parabol nằm tuỳ ý, trục thì song song với Oy.
Việc vẽ đồ thò và khảo sát như trên hoàn toàn sơ cấp. Ở lớp 12, học sinh sẽ sử
dụng công cụ tối tân hơn đó là công cụ đạo hàm. Khi đó việc vẽ đồ thò sẽ
chính xác hơn và học sinh sẽ có nhiều thông tin hơn về đồ thò.
12
Việc đưa ra cách vẽ lấy một số điểm nối lại để được một đường cong Parabol
như vậy là không ổn. Cho dù ta lấy 100 điểm đi chăng nữa và nối lại thì cũng
chỉ dừng lại ở việc dự đoán đó là đường cong (bởi vì lỡ có một lân cận nào đó
nó là đường thẳng thì sao?). Nhưng khi học hàm số liên tục ở lơp 11 thì học
sinh đã có thể lí giải được điều này.
Tác giả đưa ra một số điểm để rồi kết luận nó là đối xứng qua trục Oy như trên
thì ở đây không phải là một chứng minh. Với việc quy nạp không đầy đủ như
vậy thì cũng chỉ dừng là ở mức dự đoán kết quả. Nhưng khi sử dụng khái niệm
và tính chất hàm số chẵn, lẻ thì học sinh sẽ biết được đầy đủ và chắc chắn
hơn về điều này.
3) Cách thức đưa nội dung khảo sát hàm số vào sách giáo khoa :
a) Theo chương trình cập nhật hoá năm 1974 (dựa trên sách lớp 12B của nhóm tác giả
Đoàn Phi Long-Trần Ngọc Ẩn-Đoàn Tấn Phụng)
• Trước hết sách đưa vào những phần kiến thức theo thứ tự như sau : đại cương về hàm số,
giới hạn của hàm số, đường tiệm cận, sự liên tục, đạo hàm sau đó mới đến khảo sát hàm
số.
• Việc đưa khảo sát hàm số vào chương trình gắn liền với việc khảo sát chuyển động của
các chất điểm (do đó sách có tên là Giải tích-Điểm động học)
=> Lấy giải tích làm công cụ để giải quyết bài toán cơ học
b) Theo chương trình sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000 (cũng gần giống cấu trúc
SGK 1995) (dựa trên SGK biên soạn của các tác giả Ngô Thúc Lanh và Trần Văn Hạo
chủ biên)
• Đã được đưa vào trên cơ sở đã được tìm hiểu sơ về nội dung hàm số ở lớp 10 và lớp 11
như :
Lớp 10 : khái niệm hàm số, TXĐ của hàm số, đồ thò hàm số, sự biến thiên của
hàm số, tính chẵn lẻ của hàm số đã được học về xét sự biến thiên và vẽ đồ thò
của các hàm cơ bản như Parabol
2
y ax bx c= + +
.
Lớp 11 : học sinh được học về hàm số lượng giác, tính liên tục, giới hạn của hàm
số.
• Trong sách giáo khoa Toán lớp 12 việc đưa bài khảo sát hàm số vào sau khi đã đưa vào
những nội dung có liên quan chặt chẽ như : đạo hàm, sự đồng biến, nghòch biến của
hàm số, cực đại và cực tiểu của hàm số, tính lồi lõm điểm uốn của đồ thò, tiệm cận của
đồ thò.
13
c) Theo chương trình phân ban thí điểm đang được thực hiện (căn cứ trên Khung chương
trình phân ban môn toán của Bộ giáo dục đào tạo) :
• Lớp 10 : hàm số (khái niệm, đồ thò, đơn điệu, tính chẵn, lẻ), "khảo sát" hàm số bậc nhất,
bậc 2.
• Lớp 11 : giới hạn, liên tục, đạo hàm.
• Lớp 12 : tính đơn điệu, cực trò, giá trò lớn nhất và nhỏ nhất, đồ thò, đường tiệm cận, khảo
sát và vẽ đồ thò của hàm số.
Nhận xét : ở 3 mốc chương trình cải cách giáo dục như trên ta thấy cấu trúc chương trình
của phần khảo sát hàm số và những vấn đề có liên quan chặt chẽ đến khảo sát hàm số là
có sự thay đổi đáng kể càng ngày thì những vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số càng
được đưa vào trong chương trình lớp dưới (10, 11).
• Ngày càng phát triển, do đó để theo kòp sự phát triển ấy thì có một số vấn đề mới được
đưa vào trong sách giáo khoa => kiến thức có xu hướng dồn xuống lớp dưới.
• Cấu trúc chương trình theo kiểu trãi rộng trong 2 bộ sách 2000 và thí điểm giúp cho học
sinh không quá đột ngột khi tiếp xúc với nội dung kiến thức khảo sát hàm số.
• Ở sách giáo khoa 74-75 thì việc đưa vào nguyên một phần kiến thức về hàm số và khảo
sát hàm số giúp bảo đảm tính liên tục của kiến thức, và tránh tình trạng học sinh sẽ
quên phần kiến thức cũ có liên quan (giới hạn hàm số, tính liên tục, khái niệm hàm số,
đồ thò, ) khi học lên lớp trên.
• Thực ra thì ở chương không phải lên cấp 3 học sinh mới gặp thuật ngữ hàm số mà học
sinh đã được làm quen với hàm số ở chương trình cấp 2 (Sách toán lớp 7) và đã nghiên
cứu đồ thò của các hàm số đơn giản như bậc nhất và bậc hai (lớp 7, lớp 9).
IV/ Những phần kiến thức có liên quan và ứng dụng của nó :
1) Những phần kiến thức có liên quan và ứng dụng trong khoa học toán phổ thông :
• Vấn đề khảo sát hàm số là công cụ mạnh để giải quyết các bài toán về tìm giá trò lớn
nhất và nhỏ nhất mà chỉ với kiến thức bất đẳng thức ở lớp 10 thì chưa đủ kiến thức để
giải quyết đa dạng các bài toán.
• Khảo sát và vẽ đồ thò cũng là công cụ mạnh để giải quyết những bài phương trình có
liên quan đến tham số.
• Phần kiến thức này có liên quan đến kiến thức tích phân, ứng dụng tích phân (tìm diện
tích) ở một mức độ nhất đònh. Ở phần tính tích phân được học trên cơ sở của đạo hàm,
còn ở phần ứng dụng tích phân thì phải đa số các trường hợp ta đều vẽ đồ thò của hàm số
rồi mới xác đònh được công thức tính.
14
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét