Về các dãy hồi quy tuyến tính .pdf

ý tết ồ
ệ
ị ĩ sử a b số ó r a ồ ớ b
m ế m|(a b)
a ồ ớ b m t ết
a b(modm).
ế a ồ b m t ết
a b(modm).
ệ ề ế a b số tì a b(modm) ỉ
tồ t số k s a = b + km.
ứ sử a b(modm) ó m|(a b) tứ a b = km ớ
số k ó ợ ế tồ t số k s a = b + km
tì m|(a b) tứ a b(modm).
ệ ề sử m ột số ệ ồ
m t tí t s
í t ế a ột số tì
a a(modm).
í t ố ứ sử a b số ó ế
a b(modm) tì b a(modm).

í t sử a b c số ó ế
a b(modm) b c(modm) tì a c(modm)
ứ ó a a(modm) ì m|(a a)
sử a b(modm) tứ m|(a b) ó m|(b a) b
a(modm)
ế a b(modm) b c(modm) tì m|(a b) m|(b c) ó
m|(a c) ì (a c) = (a b) + (b c)
ờ tí t tr ớ ỗ số m t ó tể t
ợ số t ớ ồ m số ù
tộ ột ớ ồ m ỉ ú ồ ớ
m
ị ĩ ột ệ t ủ m ột t ợ
số s ỗ số tỳ ý ề ồ m ớ ú
ột số ủ t ợ
í ụ ợ số 0, 1, , m1 ột ệ t ủ
m ệ ọ ệ t é t m
sử m ột số ó t ợ số

m 1
2
,
m 3
2
, , 0, 1, ,
m 3
2
,
m 1
2
ệ t ủ ợ ọ ệ t tệt ố é t m
ị ý sử a, b, c m số m > 0 a b(modm)
ó
a + c b + c(modm),
a c b c(modm),
ac bc(modm).
ứ ì a b(modm) m|(a b) (a + c) (b + c) = a b
m|[(a + c) (b a)] ợ ứ
tự ợ s r từ ỗ (a c) (b c) = a b

ể ứ t ú ý r ac bc = c(a b) từ m|(a b) s
r m|c(a b) tứ ac bc(modm).
ó tể é ế ủ ù ột ồ
ột số
2002 4(mod6)

2002
2
= 1001 = 2(mod6).
ị ý sử a, b, c m số m > 0
ac bc(modm) d = (c, m) ó t ó
a b(mod
m
d
).
ứ sử ac bc(modm) ó m|(ac bc) = c(a b) ó
tồ t số k s c(a b) = km ế d t ợ
c
d
(a b) = k
m
d
.
ì

c
d
,
m
d

= 1 từ ó s r
m
d
|(a b) tứ
a b(mod
m
d
).
í ụ 2002 2(mod5) (2, 5) = 1 t ó
1001 1(mod5).
ị ý s ệ q ủ ị ý
ị ý ế a, b, c m số s m > 0 (c, m) = 1
ac bc(modm) ó a b(modm).
ị ý ó tể ở rộ t ị ý s t t r
ó tể ột số é tí số ọ ố ớ ớ ồ ố ớ
số

ị ý ế a, b, c, d m số m > 0 a b(modm)
c d(modm) ó
a + c b + d(modm),
a c b d(modm),
ac bd(modm).
ứ ì a b(modm) c d(modm) m|(a b), m|(c d).
ó tồ t số k l s km = a b, lm = c d
ể ứ t ét r (a+c)(b+d) = km+lm = (k+l)m.
ó m|[(a + c) (b + d)] tứ a + c b + d(modm)
ể ứ t ú ý r (a c) (b d) = (a b) (c d) =
kmlm = (kl)m ó m|[(ac)(bd)] tứ ac bd(modm).
ể ứ t t acbd = acbc+bcbd = c(ab)+b(cd) =
ckm + blm tứ m|(ac bd) ó ac bd(modm).
ị ý sử r
1
, r
2
, , r
m
ệ ủ t m a
số (a, m) = 1 ó
ar
1
+ b, ar
2
+ b, , ar
m
+ b
ũ ột ệ t ủ m
ứ rớ t t ỉ r r tr số
ar
1
+ b, ar
2
+ b, , ar
m
+ b
ó số ồ m t ế
ar
j
+ b ar
k
+ b(modm)
tì
ar
j
ar
k
(modm).
(a, m) = 1 t ị ý t ó
r
j
r
k
(modm).

ì r
j
r
k
(modm) ế j = k t s r j = k
t ợ số tr ồ m số ồ
m số ó t ệ t ủ m
ị ý s t r ồ ợ t ế ế ợ
ù ột ỹ từ
ị ý sử a, b, k, m số ồ tờ k > 0,
m > 0, a b(modm) ó
a
k
b
k
(modm).
ứ a b(modm) t ó m|(a b) ì
a
k
b
k
= (a b)(a
k1
+ a
k2
b + + ab
k2
+ b
k1
)
(a b)|(a
k
b
k
) m|(a
k
b
k
) tứ a
k
b
k
(modm)
r trờ ợ số a, b ồ ề số
t ó tể ết ợ t ị ý s
ị ý sử a b(modm
1
), a b(modm
2
), , a b(modm
k
),
tr ó a, b, m
1
, , m
k
số m
1
, m
2
, , m
k
> 0. ó
a b(mod[m
1
m
k
])
tr ó [m
1
m
k
] ộ ỏ t ủ m
1
, , m
k

ứ ì a b(modm
1
), a b(modm
2
), , a b(modm
k
), t
ó m
1
|(a b), m
2
|(a b), , m
k
|(a b) ừ ó s r r
[m
1
, m
2
, , m
k
]|(a b),
tứ
a b(mod[m
1
m
k
]).

ệ q sử a b(modm
1
), a b(modm
2
), , a b(modm
k
),
tr ó a, b m
1
, m
2
, , m
k
số tố ù
từ ó
a b(modm
1
m
k
).
ứ m
1
, m
2
, , m
k
số tố ù
từ t ó
[m
1
m
2
m
k
] = m
1
m
2
m
k
.
ó ệ q ợ s trự tế từ ị ý
ồ tế tí
ột ồ
ax b(modm),
tr ó x ột số ết ợ ọ ồ tế tí ột
ế sẽ t r ệ ứ ồ t t
tự ệ ứ trì ệ ế
rớ t t ét r ế x = x
0
ột ệ ủ ồ
ax b(modm) ế x
1
x
0
(modm) tì ax
1
ax
0
b(modm) x
1
ũ ột ệ ế ột tử ủ ột ớ ồ
m ó ột ệ tì ọ tử ủ ớ ó ũ ệ ì
tế ó tể t ỏ tr m ớ ồ ó ớ
ệ ột t ó ệ ồ
m
ị ý sử a, b, m số m > 0 (a, m) = d ế
d |b tì ồ ax b(modm) ệ ế d|b tì ax b(modm) ó
ú d ệ ồ m
ứ ố x ệ ủ ồ ax b(modm) ế
ỉ ế tồ t số y s ax my = b ì d = (a, m) d|b
ế d |b tì ồ ét tồ t ệ

ờ sử d|b ì d = (a, m) tồ t số s, t s
d = as + mt.
t tồ t số e s b = de ừ ó t ợ
b = a(se) + m(te).
t ó tể ột ệ ủ ồ x
0
= se sẽ ứ tỏ
r số
x = x
0
+ m

a
d

k,
tr ó k ề ệ ồ ét t
ax = ax
0
+ m

a
d

k,
ax
0
b(modm)
a
d

ax ax
0
b(modm).
ợ ọ ệ ủ ồ ề ó t
sử x ệ tỳ ý
ax my = b.
ó
a(x se) m(y + te) = 0
tứ
a(x se) = m(y + te).
ế d t ợ
a
d
(x se) =
m
d
(y + te).
d = (a, m) (
a
d
,
m
d
) = 1 s r
a
d
|(y+te) tồ t số
k s
a
d
k = (y + te) tứ y =
a
d
k te ó a(x se) =
a
d
mk
x = se +
m
d
k = x
0
+
m
d
k.

ò ứ r ó ú d ệ ồ m
sử ệ x
1
= x
0
+
m
d
t
1
x
2
= x
0
+
m
d
t
2
ồ m
x
0
+
m
d
t
1
x
0
+
m
d
t
2
(modm).
ó
m
d
t
1

m
d
t
2
(modm).
ì
m
d
|m (m,
m
d
) =
m
d
t ị ý
t
1
t
2
(modm)
ệ ủ ệ ồ ợ t
x = x
0
+
m
d
t tr ó t q ệ ủ t d
ợ ó ó ú d tử ở t = 0, 1, 2, , d 1
ị ĩ sử a, m số m > 1 ệ ủ ồ

ax 1(modm)
ợ ọ ị ủ a m
ệt ó ữ số ị ủ í ó ột số
tố p
ệ ề sử p ột số tố ố a ị
p ủ í ó ỉ
a 1(modp)

a 1(modp).
ứ ế a 1(modp) a 1(modp) tì a
2
1(modp)
a ị ủ í ó
ợ sử a ị ủ í ó tứ
a
2
= a.a 1(modp).
ó p|(a
2
1) ì (a
2
1) = (a1)(a+1) p tố p|(a1)
p|(a + 1) ó a 1(modp) a 1(modp)

ị ý é é
ị ý ị ý é é sử p số tố a số
ớ p |a ó a
p1
1(modp)
ứ ét p 1 số a, 2a, , (p 1)a số
tr số ó tr ết p ì p|ja ớ j ó tì p|j (a, p) = 1
t ó 1 j p 1 ữ ó số tr
tr ồ p t ế ja ka(modp) tì (a, p) = 1
s r j k(modp) tứ j = k ì 1 j p 1 số
a, 2a, , (p 1)a t ợ (p 1) số ồ
ó số ồ p t é
t ủ ệ ó 1, 2, , (p 1) ế t tứ tự ó ừ ó s r
a.2a (p 1)a 1.2 (p 1)(modp).

a
p1
(p 1)! (p 1)!(modp).
ì ((p 1)!, p) = 1 t ợ
a
p1
1(modp).
ệ q sử p số tố a số ó
a
p
a(modp)
ứ ế p |a tì t ị ý é é t ó
a
p1
1(modp).
ế ớ a t ợ
a
p
a(modp).
ợ ế p|a tì p|a
p
a
p
a 0(modp)

ệ q sử p số tố a số tố ớ p |a
ó a
p2
ị ủ a p
ứ sử p |a ó t ị ý é é t ó
a.a
p2
= a
p1
1(modp).
a
p2
ị ủ a p
ệ q sử a, b số p số tố p |a
ó ệ ủ ồ tế tí
ax b(modp)
số x s x a
p2
b(modp)
ứ sử ax b(modp) ì p |a a
p2
ột ị
ủ a(modp) ừ ó t ó
x a
p2
ax a
p2
b(modp).
ố tố
ị ý é é ế n số tố tì ớ ọ số b t
ó b
n
b(modn) ế ó số b s b
n
b(modn)
tì n ợ số ị ý é é t
ể tr ột số n ó số tố ó
ủ ị ý é é ờ ũ ú í ụ ớ
n = 341, b = 2 t ó n = 11.31
2
340
= (2
10
)
34
1(mod11);
2
340
= (2
5
)
68
= 32
68
1(mod31).
ừ ó s r 2
340
1(mod341) n = 341 ợ số

Xem chi tiết: Về các dãy hồi quy tuyến tính .pdf