công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Giải phương trình
1,7x
2
- 1,2x - 2,1 = 0
như thế nào đây?

Biến đổi phương trình tổng quát :
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0 )
+ Chuyển hạng tử tự do sang vế phải:
a
c
x
a
b
x −=+
2
I. CÔNG THỨC NGHIỆM
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
c
+
+ Vì a ≠ 0, chia vế cho hệ số a ta có:
ax
2
+ bx = 0
ax
2
+ bx = - c
2
ax bx
a a a
c
+ = −

+ Tách hạng tử
b
2 x
2a
×

2
2
2
+−=++
a
c
a
b
xx
2
b
2a
 
 ÷
 
a
c
a
b
a
b
a
b
xx −






=






++
22
2
222
2
2
2
3
b b 4ac
x
2a 4a
−
 
⇔ + =
 ÷
 
(2)
Đặt :
acb 4
2
−=∆
Ta được :
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
thành
và thêm vào hai vế cùng một biểu thức để vế trái thành bình
phương của một biểu thức:
2
b
2a
 
 ÷
 
2
b
2a
 
 ÷
 
2
c
x
a
= −
b
x
a
+
b
x
a

a) Nếu > 0 thì từ phương trình (2) suy ra
Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm:
x
1
= ; x
2
=

b) Nếu = 0 thì phương trình (2) suy ra

Do đó phương trình (1) có nghiệm kép x =
∆

2
±=+
a
b
x
a
b
2
∆+−
a
b
2
∆−−
∆
=






+
2
2a
b
x
a
b
2
−
a2
∆
0
?1 Hãy điền những biểu thức thích hợp
vào các chỗ trống (…) dưới đây:
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

?2 Hãy giải thích vì sao khi  < 0 thì phương trình
vô nghiệm.
2
b
x 0,
2a
 
+ ≥
 ÷
 
Rx∈∀
Vì:
Tóm lại :
Đối với phương trình ax
2
+ bx +c = 0 (a ≠ 0) và= b
2
– 4ac
•
Nếu >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
•
Nếu =0 thì phương trình có nghiệm kép: x
1
=x
2
=
•
Nếu <0 thì phương trình vô nghiệm
2
b
a
−
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 2
b b
x , x
2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =

II. ÁP DỤNG
VD: Giải phương trình: 3x
2
+ 5x - 1 = 0
1
2
b 5 37
x
2a 6
b 5 37
x
2a 6
− + ∆ − +
= =
− − ∆ − −
= =
Giải
+ Xác đònh các hệ số:
a= ; b= ; c =
+ Ta có  = b
2
– 4ac
= 5
2
– 4.3.(-1) = 25 + 12 = 37

+ Xét dấu : Vì  > 0 nên phương trình có 2
nghiệm phân biệt:
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
3 +5 -1
37⇒ ∆ =

?3 Áp dụng công thức nghiệm để giải các
phương trình:
Giải
a) 5x
2
– x + 2 = 0
Các hệ số:
a = 5; b = -1; c = 2
Ta có  = b
2
– 4ac
= (-1)
2
– 4.5.2
= 1 – 40 = -39 < 0
Vì :  < 0 nên phương trình vô nghiệm
a) 5x
2
– x + 2 = 0; b) 4x
2
- 4x + 1 = 0; c) -3x
2
+ x + 5 = 0
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

b) 4x
2
– 4x + 1
Giải
Các hệ số :
a = 4; b = -4; c = 1
Ta có  = b
2
– 4ac
= (-4)
2
– 4 . 4 . 1
= 16 – 16 = 0
Vì:  = 0 nên phương trình có nghiệm kép
2
2
4
2
21
==
−
==
a
b
xx
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

c) -3x
2
+ x + 5 = 0
Giải
Các hệ số
a = -3; b = 1; c = 5
Ta có  = b
2
– 4ac
= (1)
2
– 4 . (-3) . 5 = 1+ 60 = 61
=>
Vì :  > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân
biệt
61=∆
6
611
6
611
2
6
611
6
611
2
2
1
+
=
−
−−
=
∆−−
=
−
=
−
+−
=
∆+−
=
a
b
x
a
b
x
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI


Chú ý: Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
có a và c trái dấu, tức là a.c <0 thì  = b
2
– 4ac > 0.
III. VẬN DỤNG

15/
45
Không giải phương trình, hãy xác đònh các
hệ số a, b, c, tính biệt thức  và xác đònh số
nghiệm của mỗi phương trình sau:
2
2
2
a) 7x 2x 3;
b) 5x 2 10x 2 0
1 2
c) x 7x 0
2 3
− +
+ + =
+ + =
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

a) 7x
2
– 2x + 3 = 0
2
b) 5x 2 10x 2 0+ + =
Với a = ; b = ; c =
Ta có  = b
2
– 4ac
Vì:  < 0 nên phương trình vô nghiệm
7 -2 3
= (-2)
2
– 4 . 7 .3
= 4 – 84 = -80
Với : a = ; b= ; c =
Ta có  = b
2
– 4ac
Vì:  = 0 nên phương trình có nghiêm kép
2
= (2 10) - 4.5.2
= 4.10-40 = 0
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2 10
5 2

c) 1,7x
2
- 1,2x - 2,1 = 0
Với a = ; b = ; c =
Ta có  = b
2
– 4ac
Vì:  > 0 nên phương trình có 2 nghiệm
phân biệt
= (1,2)
2
– 4 . (1.7) . (-2.1)
=1,44 + 14,28 = 15,72
1,7
-1,2
-2,1
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Xem chi tiết: công thức nghiệm của phương trình bậc hai